3.2.2. Экстремумы

Напомним, что в точке x₀ функция достигает экстремума, если для любых x из некоторой окрестности точки x₀ выполняется неравенство f (x) ≤ f (x₀) (минимум) или f (x) ≥ f (x₀) (максимум).

Теорема Ферма. Если функция f (x) дифференцируема в точке x₀ и достигает в ней экстремума, то

Необходимое условие экстремума. Во всех точках экстремума производная функции не существует или равна нулю.

Обратное, вообще говоря, неверно. Так, точка x = 0 функции y = x³ не является ни максимумом, ни минимумом.

Точки, в которых производная функции равна нулю, называются стационарными точками функции. Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками. Таким образом, все экстремумы являются критическими точками

Теорема Ролля. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a; b], принимает в концах этого отрезка равные значения и дифференцируема на интервале (a; b), то существует хотя бы одна точка такая, что

В частности, между двумя нулями дифференцируемой функции обязательно лежит хотя бы один нуль ее производной.

Теорема Лагранжа. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a; b] и дифференцируема на интервале (a; b), то существует хотя бы одна точка такая, что

Это соотношение называется формулой конечных приращений Лагранжа. Воспользовавшись ей, легко доказать, что если производная функции на отрезке [a; b] равна 0, то эта функция постоянна на этом отрезке. Если производная функции f на отрезке [a; b] равна k, то f – линейная функция.

Если в точке x₀ функции f и g равны, а производные этих функций, если они существуют, удовлетворяют на некотором отрезке [x₀; x₁] соотношению f ′ (x) > g′ (x), то в каждой точке промежутка (x₀; x₁] f (x) > g (x).

Достаточные условия экстремума.

Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности точки x₀, кроме, быть может, самой этой точки, и непрерывна в точке x₀. Если производная функции меняет знак с минуса на плюс при переходе через эту точку слева направо, то x₀ – точка минимума. Если производная функции меняет знак с плюса на минус при переходе через эту точку слева направо, то x₀ – точка максимума.

Пусть – стационарная точка функции f (x), и существует Если то – точка минимума; если то – точка максимума функции f (x).

Так, производная функции f (x) = |x| равна –1 при отрицательных x и +1 при положительных x. Функция |x| достигает в точке x₀ = 0 своего минимума.

В точке x₀ = 0 первая производная функции f (x) = –x² равна f ′ (x₀) = –2x₀ = 0, а вторая производная f ′′ (x₀) = (–2x)′ = –2 < 0. Функция –x² + 3 достигает в точке x₀ = 0 своего максимума.

Заметим, что в точке x = 0 функции y = x⁴ вторая производная f ′′ (x₀) = 0, однако эта точка является точкой минимума. Можно доказать, что если f ′ (x₀) = f ′′ (x₀) =... = f^(2n – 1) (x₀) = 0 и f⁽²ⁿ⁾ (x₀) > 0 (f⁽²ⁿ⁾ (x₀) < 0), то точка x₀ является точкой минимума (соответственно, максимума).

Глава 3. Дифференцирование и интегрирование функций

3.2. Исследование функций при помощи производных