Главная   Онлайн учебники   База репетиторов России   Товары для школы   Подготовка к ЕГЭ онлайн


Глава 3. Дифференцирование и интегрирование функций

3.2. Исследование функций при помощи производных

Назад Вперед
Назад Вперед

3.2.3. Выпуклость функции и точки перегиба

Непрерывная на отрезке [ab] функция f (x) называется выпуклой вверх на этом отрезке, если для любых точек x1 и x2 из этого отрезка

График 3.2.3.1.
Выпуклая вверх функция
Другими словами, если для любых точек x1 и x2 отрезка [ab] секущая AB проходит под графиком функции f (x), то функция f выпукла вверх.

Аналогично определяется функция, выпуклая вниз.

Дважды дифференцируемая на [ab] функция f (x) выпукла вверх, если для любого

Дважды дифференцируемая на [ab] функция f (x) выпукла вниз, если для любого

Так, вторая производная функции равна откуда следует, что квадратичная функция выпукла вниз на всей области определения.

Пусть функция f (x) непрерывна в точке и имеет в этой точке конечную или бесконечную производную. Тогда точка называется точкой перегиба функции f, если в этой точке изменяется направление ее выпуклости.

Необходимое условие наличия точки перегиба. Если – точка перегиба функции f (x), и функция f (x) имеет вторую производную, непрерывную в этой точке, то

Достаточные условия наличия точки перегиба.

Пусть функция f (x) непрерывна и имеет конечную или бесконечную производную в точке  Если меняет знак при переходе через точку  то – точка перегиба функции f (x).

Если   то – точка перегиба функции f (x).

 

В заключение приведем примеры, когда точка x0 не является точкой перегиба несмотря на то, что ее вторая производная меняет знак при переходе через эту точку:

Не являются точками перегиба и точки возврата, например точка у функции

 

Все вышеперечисленные случаи изображены на рисунке.

График 3.2.3.2.
Точки, не являющиеся точками перегиба: точка разрыва, точка возврата, угловая точка

Назад Вперед
Наверх

Включить/Выключить фоновую музыкуВключить/Выключить звуки событий

Главная   Онлайн учебники   База репетиторов России   Товары для школы   Подготовка к ЕГЭ онлайн