Глава 3. Дифференцирование и интегрирование функций

3.3. Неопределенный интеграл

3.3.1. Первообразная

Зная закон движения тела, можно, продифференцировав функцию перемещения тела по времени, в любой момент найти его скорость. Часто требуется решить обратную задачу, то есть найти перемещение тела, зная, как изменяется его скорость. Эта и подобные задачи решаются при помощи интегрирования – операции, обратной дифференцированию.

Функция F, заданная на некотором промежутке D, называется первообразной функции f, заданной на том же промежутке, если для любого

Так, функция является первообразной функции  в чем можно убедиться, поставив эти функции в определение первообразной. Функция также является первообразной функции  

Если функция F является первообразной функции f, то все функции вида F + C, где C – константа, и только они являются первообразными функции f.

Таким образом, для любой функции ее первообразная F определяется неоднозначно. Для того, чтобы задать ее однозначно, нужно указать точку A (x₀; y₀), удовлетворяющую уравнению y = F (x).

Модель 3.8. Дифференцирование и интегрирование функций

Первообразные основных элементарных функций приведены в таблице.

Функция f (x) Первообразная F (x) 0 C a xa + C xα, α ≠ –1 ln |x| + C ax sin x –cos x + C cos x sin x + C tg x + C –ctg x + C arcsin x + C arctg x + C

Таблица 3.3.1.1