Глава 3. Дифференцирование и интегрирование функций

3.2. Исследование функций при помощи производных

3.2.5. Построение кривых, заданных параметрически

При построении кривых, заданных параметрически:

x = x (t), y = y (t),

можно придерживаться следующего плана.

1. Найти области определения D_x (t) и D_y (t) функций x (t) и y (t).
2. Найти область определения
   функции, заданной параметрически.
3. Решив уравнения
   

   x (t) = 0, y (t) = 0,

   найти точки пересечения с осями координат.
4. Вычислить производные и
5. Определить производную Найти критические точки.
6. На каждом из интервалов, границами которых служат критические точки, определить знак производной и промежутки возрастания и убывания функции y (x), заданной параметрически.
7. Определить экстремумы функции, а также точки, касательная к которым вертикальна (производная в этих точках обращается в бесконечность).
8. Определить особые точки графика, в которых и (или)
9. Найти пределы и в точках t₀, лежащих на границах области определения.
   • Если оба предела конечны, найти касательную к кривой в точке  
   • Если один из пределов конечен, а второй бесконечен, то кривая имеет горизонтальную y = y₀ или вертикальную x = x₀ асимптоту.
   • Если оба предела бесконечны, то найти наклонную касательную, вычислив пределы   Если один из этих пределов не существует, то асимптоты нет.
10. Вычислить производную и определить точки перегиба функции и направление выпуклости на каждом из интервалов, ограниченных точками перегиба или точками, в которых вторая производная не существует.
11. Выяснить, существуют ли точки самопересечения графика функции, решив систему
    
12. Проверить график функции на симметричность.
    • График функции симметричен относительно точки (a; b), если при любом t можно найти такое t₁, что
    • График функции симметричен относительно прямой ax + by + c = 0, если при любом t можно найти такое t₁, что В частности, график функции симметричен относительно прямой y = x, если при любых t имеет решение система