Глава 3. Дифференцирование и интегрирование функций

3.3. Неопределенный интеграл

3.3.4. Интегрирование сложных функций

Назовем правильной рациональной дробью функцию вида где и – многочлены степеней m и n соответственно, причем m < n. Всякая правильная рациональная дробь раскладывается на сумму простых дробей вида

и

где A, B, D, a, p, q – постоянные   

Любая неправильная дробь  m ≥ n, представима в виде
где  – правильная дробь, а S (x) – многочлен степени m – n. Для этого можно, например, разделить P_m на Q_n «уголком». Так, дробь не является правильной, для нее получаем:

Итак,

Таким образом, интегралы от дробей вида являются степенными или логарифмическими функциями:

(r ≠ 1).

Интеграл от дроби вида вычисляется методом замены переменного: где .

При k = 1 эти интегралы соответственно равны и

При k > 1  а второй интеграл является линейной комбинацией правильной рациональной дроби и арктангенса.

Некоторые сложные функции интегрируются методом замены переменного.

Так, интеграл вида где R (x) – произвольная рациональная функция, сводится к интегралу от рациональной дроби при помощи подстановки
поскольку  

Интеграл вида где (m + n) – нечетное число, решается подстановкой t = sin x или t = cos x. Если же (m + n) – четное, то используют подстановку t = tg x или t = cos 2x.

Заметим, что некоторые интегралы от трансцендентных функций не выражаются через элементарные функции. К таковым относятся, в частности:

• – интеграл Пуассона;
• и – интегралы Френеля;
• – интегральный логарифм;
• – интегральный синус;
• – интегральный косинус.