Глава 3. Дифференцирование и интегрирование функций

3.5. Простейшие дифференциальные уравнения

3.5.3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Дифференциальное уравнение называется линейным, если неизвестная функция и все ее производные входят в уравнение линейно:

Если f (x) тождественно равна нулю, то уравнение называется однородным; в противном случае оно называется неоднородным.

Принцип суперпозиции. Если и – решения однородного уравнения то

y (x) = α1 y1 (x) + α2 y2 (x)

при любых постоянных α₁ и α₂ является решением однородного уравнения.

Если и – решения неоднородного уравнения то их разность

y (x) = y1 (x) – y2 (x)

есть решение однородного уравнения

Всякое решение неоднородного уравнения есть сумма частного решения этого неоднородного уравнения и общего решения соответствующего ему однородного уравнения

Уравнение вида
где a₁, …, a_n – некоторые постоянные, называется линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.

Всякое решение однородного уравнения первого порядка
имеет вид
где C – постоянная.

Уравнение вида
где P_m (x) – многочлен степени m, μ – постоянная, имеет частное решение вида
если μ ≠ λ, и вида
если μ = λ. Здесь Q_m (x) – многочлен степени m.

В общем случае у однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами имеется так называемое характеристическое уравнение Корни этого уравнения – характеристические числа – являются показателями степеней слагаемых, входящих в решение. Если среди корней уравнения нет кратных, то решением однородного уравнения является функция вида где все – некоторые константы, зависящие от начальных условий. Количество слагаемых в этой функции совпадает со степенью дифференциального уравнения. Если же, скажем, – корень характеристического уравнения кратности m, то соответствующее слагаемое принимает вид а общее количество слагаемых, входящих в решение однородного дифференциального уравнения уменьшается на m – 1.

Уравнение
где ω > 0, называется уравнением гармонических колебаний. Его нетривиальным решением является функция вида

x (t) = C1 cos ωt + C2 sin ωt,

где C₁, C₂ – постоянные. Эту функцию можно представить в виде

x (t) = A cos (ωt – φ),

где  

Уравнение
сводится к трем случаям:

• a² < ω²:
  Эта функция не периодическая, но ее максимумы и минимумы повторяются с периодом T = 2π/ω. Величина A e^–at называется амплитудой затухающих колебаний. Заметим, что она существенно зависит от времени.
• a² > ω²:
  где λ₁ и λ₂ – постоянные:
  Функция x(t) – непериодична, это – апериодический процесс.
• a² = ω²:
  Это – также апериодический процесс.