Задачи с решениями

Вычислить коэффициенты a, b, c уравнения прямой, проходящей через две заданные точки:
а) A₁(1; 2) и A₂(0; 1);
б) A₁(1; 2) и A₂(1; 3);
в) A₁(1; 2) и A₂(0; 2).

По теореме 11.5 уравнение прямой имеет вид ax + by + c = 0, а координаты точек A₁ и A₂ одновременно удовлетворяют этому уравнению.

а) Имеем:    Вычтем второе равенство из первого и получим a + b(2 – 1) = 0; или a + b = 0; выразим a через b и подставим в исходное уравнение прямой. a = b = 0 не удовлетворяет полученному равенству, так как в этом случае исходное уравнение не задает прямой. Получим –bx + by + c = 0. Поделив на b и обозначив   получим Чтобы найти c₁, подставим в уравнение координаты одной из точек, например, A₂ и получим –0 + 1 + c₁ = 0; c₁ = –1. Окончательно получим: -x + y – 1 = 0 – уравнение исходной прямой. Действительно, координаты точек A₁и A₂ удовлетворяют данному уравнению, а в соответствии с аксиомой 2.2 через две разные точки A₁ и A₂ можно провести единственную прямую.

б) Аналогично запишем систему равенств, подставив в уравнение прямой значения координат точек A₁(1; 2) и A₂(1; 3):   Вычтя первое равенство из второго, имеем b = 0. Как следствие, a ≠ 0. Имеем ax + c = 0, или   Обозначив   получим вид уравнения Подставим значение координат точки в данное уравнение: 1 + c₁ = 0; c₁ = –1. Окончательно x – 1 = 0.

в) Запишем систему равенств   Как следствие, имеем a = 0, b ≠ 0. Следовательно, уравнение прямой имеет вид y + c₁ = 0. Находим c₁, подставив координаты (0; 2) точки A₂. Уравнение прямой имеет вид y – 2 = 0.

3 из 24