Пусть у треугольников ABC и    Пусть   Переведем треугольник гомотетией f с любым центром и коэффициентом k в треугольник (см. рис. 12.7.1).

1

Рисунок 12.7.1. Первый признак подобия треугольников

Треугольники ABC и A₂B₂C₂ равны и, следовательно, подобны. Действительно, при гомотетии углы сохраняются, значит,   Кроме того A₂B₂ = kA₁B₁ = AB. По второму признаку равенства треугольники ABC и A₂B₂C₂ равны (теорема 4.2). По теореме 12.6 существует движение g, переводящее в   Выполнив сначала гомотетию f, а затем движение g, мы осуществим подобие g ○ f, которое переводит треугольник в треугольник ABC. Следовательно,   Теорема доказана.

Пусть у треугольников ABC и   и   Докажем, что   Переведем треугольник A₁B₁C₁ гомотетией f с любым центром и коэффициентом k в треугольник A₂B₂C₂. ΔA₂B₂C₂ = ΔABC. Действительно,    Треугольники и ABC равны по первому признаку равенства треугольников (теорема 4.1). По теореме 12.6 существует движение g, переводящее ΔA₂B₂C₂ в ΔABC. Выполнив сначала гомотетию f, а затем движение g, получим подобие g ○ f, которое переводит ΔA₁B₁C₁ в ΔABC. Следовательно,   Теорема доказана.

Пусть у треугольников ABC и A₁B₁C₁ AB = kA₁B₁, BC = kB₁C₁, AC = kA₁C₁. Переведем треугольник A₁B₁C₁ гомотетией f с произвольным центром O и коэффициентом k в треугольник A₂B₂C₂. При этом

A₂B₂ = kA₁B₁ = AB, A₂C₂ = kA₁C₁ = AC, B₂C₂ = kB₁C₁ = BC. По третьему признаку треугольники ABC и ΔA₂B₂C₂ – равны (теорема 4.7). Если g – движение, переводящее ΔA₂B₂C₂ в ΔABC, то преобразование g ○ f – подобие, переводящее ΔA₁B₁C₁ в ΔABC. Следовательно,   Теорема доказана.