Задачи с решениями

В параллелограмме с периметром 32 cм проведены диагонали. Разность между периметрами двух смежных треугольников, образованных смежными сторонами параллелограмма и его диагональю, равна 8 cм. Найти длины сторон параллелограмма.

Пусть ABCD – искомый параллелограмм, O – точка пересечения его диагоналей AC и BD (см. рисунок). По теореме 8.3 AB = CD = a, BC = AD = b, а по теореме 8.2 BO = OD, AO = OC. Рассмотрим произвольную пару смежных треугольников. Так как ΔBOA = ΔDOC, а ΔAOD = ΔCOB по трем сторонам, то любая пара смежных треугольников состоит либо из треугольников AOD и COD, либо из треугольников, один из которых равен AOD, а другой – COD. Тогда по условию 2a + 2b = 32 cм или a + b = 16 cм, (AO + OD + b) – (OC + OD + a) = 8 или b – a = 8. Отсюда b = 12 cм, a = 4 cм.

1 из 6