Глава 7. Объемы и поверхности круглых тел
7.3. Объем частей шара
Определение 7.1. Шаровым сегментом называется часть шара, отсеченная от него плоскостью. Если OP – радиус шара, перпендикулярый отсекающей плоскости, то точку P назовем в этом случае полюсом шара. Высотой шарового сегмента называется отрезок PO1, соединяющий полюс шара с центром основания шарового сегмента.
 1
|
| Рисунок 7.3.1
|
Шаровой сегмент можно рассматривать как тело, образованное вращением кругового сегмента вокруг диаметра, перпендикулярного его хорде. Формулу объема шарового сегмента выводят так же, как и формулу объема шара, но интегрируют на промежутке (0; H) (H – высота шарового сегмента):
Следовательно, объем шарового сегмента равен
 2
|
| Рисунок 7.3.2
|
Определение 7.2. Шаровым сектором называется тело, образованное вращением кругового сектора вокруг оси, содержащей один из его граничных радиусов.
 3
|
| Рисунок 7.3.3
|
Шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса. Поэтому его объем является суммой объемов шарового сегмента V1 и конуса V2: V = V1 + V2. Высота P1O1 шарового сегмента является также высотой и шарового сектора. Имеем
где r – радиус конуса. Пусть P1, P2 – полюса шара, O1A = r. Из прямоугольного треугольника P1AP2 находим r2 = H (2R–H), следовательно,
Объем шарового сектора
или
