Глава 1. Арифметика

1.1.

1.1.2.

Для натурального числа b всякое целое число a единственным образом представимо в виде a = bq + r, где 0 ≤ r ≤ |b|.

Со времен древних греков известен рисунок, иллюстрирующий доказательство этой теоремы:

1

Рисунок 1.1.2.1

Если натуральное число p не делится на натуральное число q, то говорят о делении с остатком. Так, если p – делимое, q – делитель и p > q, то

p = kq + r,

где r < q, k – частное, r – остаток. Деление без остатка описывается случаем r = 0.

Если положить, например, q = 5 и r = 1, то получим p = 5k + 1, что представляет собой общую формулу чисел, при делении которых на 5 в остатке получается 1.

Модель 1.1. Деление с остатком

Напомним, что для натурального числа q всякое натуральное число p единственным образом представимо в виде

p = kq + r.

Все натуральные числа имеют, по крайней мере, два натуральных делителя: единицу и самого себя. В случае с единицей эти два делителя совпадают. Все остальные натуральные числа (кроме 1) имеют, по крайней мере, два различных натуральных делителя: единицу и самого себя.

	Простыми называются натуральные числа, которые не имеют других натуральных различных делителей, кроме единицы и самого себя. Числа, которые имеют и другие натуральные делители кроме единицы и самого себя, называют составными.

Число 1 имеет единственный натуральный делитель – самого себя. А значит, согласно данным определениям, оно не является ни простым, ни составным.

Для того, чтобы доказать, что данное натуральное число простое, достаточно установить, что оно не делится ни на одно из чисел от 2 до включительно. Если же N делится на одно из таких чисел, то оно составное.

Более удобный способ отбора составных чисел – решето Эратосфена – предложил в III в. до н. э. древнегреческий математик Эратосфен. Предположим, что нам нужно установить, какие из чисел 2, …, N являются простыми. Выпишем их в ряд и вычеркнем каждое второе число из следующих за числом 2 – все они составные, так как кратны числу 2. Первое из оставшихся невычеркнутыми чисел – 3 – является простым. Вычеркнем каждое третье число из следующих за числом 3; следующее из невычеркнутых чисел – 5 – также будет простым. По тому же принципу вычеркнем каждое пятое число из следующих за числом 5 и вообще каждое k-ое из следующих за числом k. Все оставшиеся невычеркнутыми числа будут простыми.

Простых чисел бесконечно много. Доказательство   Предположим, что ряд простых чисел конечен, и обозначим последнее простое число в этом ряду буквой N. Тогда число x = 1 · 2 · … · (N – 1) · N + 1 должно быть составным. Это число при делении на числа 2, 3, …, N – 1, N всякий раз дает в остатке единицу. Таким образом, x не делится без остатка ни на одно из чисел 2, …, N, а простых чисел, бóльших N, по нашему предположению не существует. Но если бы x было составным числом, то оно должно было делиться хотя бы на одно простое число. Мы приходим к противоречию – следовательно, ряд простых чисел бесконечен. Доказательство этой теоремы принадлежит древнегреческому математику Евклиду и описано в его «Началах».

Приведем список простых чисел в пределах первой сотни:

Глядя на эту таблицу, можно убедиться в том, что простые числа распределены в натуральном ряду неравномерно. Существует расположенные рядом простые «числа-близнецы» (2 и 3, 3 и 5, 17 и 19, 41 и 43 и т. д.). С другой стороны, есть бесконечно длинные отрезки натурального ряда, на которых простых чисел нет вообще (так, среди последовательных чисел x + 2, x + 3, x + 4, …, x + k, где x = 1 · 2 · … · (k – 1) · k, нет ни одного простого).

Обозначим через π (n) число простых чисел, меньших n. Немецкий математик Леонард Эйлер доказал, что отношение при больших n сколько угодно близко приближается к нулю. Позже математики доказали, что для больших n число (с понятием логарифма мы познакомимся позже). Также доказано, что для натурального числа n в промежутке [n; 2n] всегда найдется хотя бы одно простое число.

Одно дело – знать, что простых чисел бесконечно много, и совсем другое – доказать, что данное число n является простым. В 2005 году было доказано, что число (2^30402457 – 1) простое; оно содержит в своей записи более 900 тысяч цифр.

Определить, является ли большое число простым, очень непросто. В настоящее время эта проблема решается при помощи ЭВМ, однако даже на самых быстрых из современных ЭВМ доказательство того, что число, состоящее из нескольких сотен цифр, является простым, может занять месяцы и годы. На сложности определения простоты чисел основаны современные механизмы шифрования данных.

Справедлива фундаментальная теорема о разложении числа на простые множители.

Любое натуральное число, отличное от 1, единственным образом разлагается в произведение простых чисел с точностью до порядка сомножителей.

Если требуется разложить небольшое число на простые множители, то эти простые множители можно угадать. Для того, чтобы разложить большое число на простые множители, используют следующий приём. Применяют признаки делимости и запись в столбик, причём делимое располагается слева от вертикальной черты, а делители – справа.

Модель 1.2. Разложение на простые множители

Для того чтобы не писать несколько раз одно и то же число в разложении на простые множители, можно записать коротко   И вообще, если какой-то множитель a встречается n раз, то записывают коротко: то есть .

	Выражение называется степенью с натуральным показателем. Ясно, что Число a называется основанием степени, а n – показателем степени. Третья степень числа называется кубом, вторая – квадратом. Первой степенью называется само число a.

Извлечением корня называется нахождение основания степени по степени и её показателю. Данная степень называется подкоренным числом, данный показатель называется показателем корня, искомое основание степени называется корнем. Например, так как то пишут: Здесь 5 – корень, 3 – показатель корня, 125 – подкоренное выражение. Корень второй степени называется квадратным корнем, корень третьей степени – кубическим. Принято опускать показатель корня, если корень является квадратным: поскольку

Общим делителем нескольких чисел называется число, являющееся делителем каждого их этих чисел. Среди всех делителей всегда есть наибольший. Такой делитель называется наибольшим общим делителем (обозначается НОД). Так, например, числа 16, 24, 32 имеют наибольший общий делитель – число 8. Этот факт коротко записывается так: НОД (16, 24, 32) = 8.

Если данные числа небольшие, то наибольший общий делитель можно легко угадать. Если же даны большие числа, то НОД можно найти разложением чисел на простые множители и выписыванием тех множителей, которые входят во все данные числа. Затем каждый такой множитель следует взять с наименьшим показателем, с которым он входит во все данные числа, после чего нужно произвести умножение.

Модель 1.3. Наибольший общий делитель

Если числа a и b таковы, что НОД (a, b) = 1, то числа a и b называют взаимно простыми. Например, числа 21 и 26 являются взаимно простыми, хотя каждое из них – составное.

Общим кратным нескольких чисел называется число, являющееся кратным каждого из них. Например, числа 14, 18, 7 имеют общее кратное число 252, однако число 126 тоже является общим кратным этих чисел. Среди всех общих кратных всегда есть наименьшее, которое называется наименьшим общим кратным (обозначается НОК). В нашем примере наименьшим общим кратным перечисленных чисел будет число 126. Кратко этот факт записывается так: НОК (14, 18, 7) = 126.

Если числа небольшие, то наибольшее общее кратное можно легко угадать. Если же даны большие числа, то НОК можно найти разложением чисел на простые множители и выписыванием тех множителей, которые входят хотя бы в одно из данных чисел. После этого каждый такой множитель нужно взять с наибольшим показателем, с которым он входит во все данные числа. Затем следует произвести умножение.

Модель 1.4. Наименьшее общее кратное