Глава 2. Алгебраические выражения

2.2.

2.2.1.

Вспомним определение функции (подробнее см. курс «Открытая Математика 2.6. Функции и Графики», § 1.3.1):

	Пусть задано числовое множество Если каждому числу x  D поставлено в соответствие единственное число y, то говорят, что на множестве D задана числовая функция: y = f (x), x  D.  Множество D, называется областью определения функции и обозначается D (f (x)). Множество, состоящее из всех элементов f (x), где x  D, называется областью значений функции и обозначается E (f (x)).

Рациональной называется функция, которую можно представить в виде отношения двух многочленов, то есть где − многочлен n-ной степени, − многочлен m-ной степени. Такую функцию f (x) ещё иногда называют рациональной дробью.

Модель 2.2. Дробно-линейная функция

Основное свойство рациональной дроби можно выразить формулой
справедливой при и где R (x) − многочлен. Кратко основное свойство рациональной дроби может быть выражено фразой: числитель и знаменатель рациональной дроби можно умножить и разделить на одно и то же отличное от нуля число, одночлен или многочлен.

Из основного свойства рациональной дроби следуют равенства:
Например,

Основное свойство дроби даёт возможность умножить и разделить числитель и знаменатель рациональной дроби на одно и то же выражение, отличное от нуля. Такая операция называется сокращением дроби. Для того, чтобы сократить рациональную дробь, нужно разложить её числитель и знаменатель на множители. При этом сокращение возможно, лишь если числитель и знаменатель имеют общие множители. Если же они не имеют общих множителей, то дробь сократить нельзя.

Для того чтобы описать действия с рациональными дробями, опишем процедуру их приведения к наименьшему общему знаменателю.

	Общим знаменателем нескольких рациональных функций называется многочлен, который делится на знаменатель каждой дроби.

Например, общим знаменателем двух дробей и будет многочлен (x – 2)(2x – 1). Но общим знаменателем этих дробей также служит многочлен 2x(x – 2)(2x – 1), а также Обычно удобнее найти многочлен минимальной степени. Такой знаменатель называется наименьшим общим знаменателем. В нашем примере таким знаменателем является многочлен (x – 2)(2x – 1). Имеем:
Множители, на которые нужно умножить числитель и знаменатель каждой дроби, называются дополнительными множителями. В нашем примере дополнительный множитель для дроби равен (x – 2), а для дроби равен (2x – 1).

Итак, для того, чтобы привести несколько рациональных дробей к общему знаменателю, нужно:

• во-первых, разложить числитель и знаменатель каждой дроби на множители;
• во-вторых, найти общий знаменатель всех этих дробей;
• в-третьих, найти дополнительные множители для каждой дроби, они получаются путём деления общего знаменателя на знаменатель каждой из дробей;
• в-четвёртых, умножить каждую из дробей на свой дополнительный множитель.

Перейдём теперь к изучению преобразований рациональных выражений.

Сложение. Сумма двух рациональных дробей с одинаковыми знаменателями определяется следующей формулой:
то есть для того, чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тем же.

Вычитание. Разность двух рациональных дробей с одинаковыми знаменателями определяется следующей формулой:
то есть для того, чтобы вычесть две дроби с одинаковыми знаменателями, нужно вычесть их числители, а знаменатель оставить тем же.

Если же нужно сложить или вычесть две дроби с разными знаменателями, то сперва их следует привести к одному знаменателю и после произвести сложение и вычитание.

Модель 2.3. Сложение и вычитание алгебраических дробей

Умножение. Произведение двух рациональных дробей находится по следующей формуле:
Другими словами, для того, чтобы перемножить две дроби, нужно перемножить их числители и результат разделить на произведение знаменателей.

Деление. Частное двух дробей находится по следующей формуле:
Другими словами, для того, чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.