Глава 2. Алгебраические выражения

2.2.

2.2.4.

	Пусть теперь По определению полагают, что Если же a > 0, то по определению полагают, что

Понятие нецелой степени отрицательного числа не имеет смысла.

Пусть a > 0, b > 0, r, s − любые рациональные числа. Тогда степень с любым рациональным показателем обладает следующими свойствами. ar · as = ar + s. ar : as = ar – s.  (ar)s = ars. ar · br = (ab)r.

Итак, для любого действительного числа мы определили операцию возведения в натуральную степень; для любого числа мы определили возведения в нулевую и целую отрицательную степень; для любого мы определили операцию возведения в положительную дробную степень; для любого мы определили операцию возведения в отрицательную дробную степень.

Возникает естественный вопрос: можно ли каким-либо образом определить операцию возведения в иррациональную степень, а, следовательно, определить смысл выражения a^x и для любого действительного числа x? Оказывается, что для положительных чисел a можно придать смысл записи a^α , где α − иррациональное число. Для этого нужно рассмотреть три случая: a = 1, a > 1, 0 < a < 1.

1. Если a = 1, то по определению полагают, что 1^α = 1.
2. Если a > 1, то выберем любое рациональное число r₁ < α и любое рациональное число r₂ > α. Тогда, очевидно, r₁ < r₂ и, следовательно:

   Но и потому (так как a > 1) и, наконец,

   Под понимают такое число, которое лежит между и при любом выборе чисел и обладающих свойством Можно доказать, что число существует и единственно для любого a > 1 и любого иррационального α.
3. Если 0 < a < 1, то выберем любое рациональное число и любое рациональное число Тогда, очевидно, и, следовательно, (это неравенство доказывается аналогично приведённому выше для a > 1). Под понимают такое число, которое лежит между и при любом выборе чисел и обладающих свойством Можно доказать, что число существует и единственно для любого 0 < a < 1 и любого иррационального α.

Итак, для a > 0 мы определили степень с любым действительным показателем.

Пусть a > 0, b > 0, x и y − любые действительные числа. Тогда справедливы следующие свойства степени с любым действительным показателем: ax · ay = ax + y. ax : ay = ax – y. (ax)y = axy. ax · bx = (ab)x.

Выше мы определили значение выражения a^b для всех вещественных a > 0 и всех вещественных b. Теперь мы можем определить степенную функцию.

	Степенной функцией с вещественным показателем a называется функция y = xa, x > 0.

Заметим, что для натуральных a степенная функция определена на всей числовой оси, подробнее об этом см. курс «Открытая Математика 2.6. Функции и Графики», § 2.4.2. Для произвольных вещественных a это невозможно, поэтому степенная функция с вещественным показателем определена только для положительных x.

К основным свойствам степенной функции y = x^a при a > 0 относятся:

1. Область определения функции − промежуток (0; +∞).
2. Область значений функции − промежуток (0; +∞).
3. Для любых a график функции проходит через точку (1; 1).
4. Функция строго монотонно возрастает на всей числовой прямой, то есть, если то
5. График степенной функции при a > 0 изображён на рисунке.

1

Рисунок 2.2.4.1. Степенная функция y = xa при a > 0

2

Рисунок 2.2.4.2. Степенная функция y = xa при a < 0

К основным свойствам степенной функции y = x^a при a < 0 относятся:

1. Область определения функции − промежуток (0; +∞).
2. Область значений функции − промежуток (0; +∞).
3. Для любых a график функции проходит через точку (1; 1).
4. Функция строго монотонно убывает на всей числовой прямой, то есть если то
5. График степенной функции при a < 0  изображён на рисунке.

Справедливы следующие свойства степенной функции: если n > k. на участке x > 1, если на участке 0 < x < 1, если