\n');
Глава 2. Элементарные функции и их графики
2.3. Тригонометрические функции
2.3.2. Синус и косинус
Положение точек на координатной окружности можно задавать не только длиной дуги, но и декартовыми координатами. Построим декартову систему координат с центром в точке O, осью абсцисс, проходящей через начало отсчета A (0), и осью ординат, проходящей через точку
За единицу отсчета возьмем радиус этой окружности. Декартовы координаты точки M (x) единичной окружности называются косинусом и синусом числа x:
M (x) = M (cos x; sin x).
|
 |
Модель 2.9.
Координатная окружность
|
Для
определение синуса и косинуса совпадает с геометрическим определением этих понятий, заданных при помощи прямоугольного треугольника OPM. В этом случае
Так как координаты точек окружности единичного радиуса по модулю не превосходят 1, то
|cos x| ≤ 1, |sin x| ≤ 1.
|
|
Таким образом, областью значений обеих функций является отрезок [–1; 1].
Ниже приведены значения косинуса и синуса для некоторых значений x:
x |
0 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
0 |
30° |
45° |
60° |
90° |
180° |
270° |
sin x |
0 |
 |
 |
 |
1 |
0 |
–1 |
cos x |
1 |
 |
 |
 |
0 |
–1 |
0 |
|
Таблица 2.3.2.1 |
Функция sin x обращается в нуль при x = πn, функция cos x обращается в нуль при

|
График 2.3.2.1. Графики функций y = sin x и y = cos x.
|
Функции sin x и cos x непрерывны на всей области определения. Они периодичны; их основной период равен 2π.
Промежутки монотонности и знакопостоянства:
Функция |
 |
 |
 |
 |
sin x |
Неотрицателен,
возрастает от 0 до 1 |
Неотрицателен,
убывает от 1 до 0 |
Неположителен,
убывает от 0 до –1 |
Неположителен,
возрастает от –1 до 0 |
cos x |
Неотрицателен,
убывает от 1 до 0 |
Неположителен,
убывает от 0 до –1 |
Неположителен,
возрастает от –1 до 0 |
Неотрицателен,
возрастает от 0 до 1 |
|
Таблица 2.3.2.2 |
Синус достигает максимума в точках
и минимумы в точках
Косинус достигает максимума в точках xmax = 2πn, минимума – в точках xmin = π + 2πn.
Функция sin x нечетна, функция cos x четна:
Формулы приведения, позволяющие свести тригонометрические функции от любого аргумента к функциям от углов из промежутка
:
Основное тригонометрическое тождество (следствие теоремы Пифагора):
Некоторые тригонометрические формулы приведены в таблице.
График функции y = sin x называется синусоидой, а функции y = cos x – косинусоидой. В обоих случаях достаточно построить графики на отрезке [0; 2π] или [–π; π], а затем периодически продолжать их на всю ось. Более того, достаточно построить график y = sin x на отрезке
отразить симметрично относительно оси
а затем отразить получившийся график относительно точки (π; 0). График y = cos x после построения на отрезке
нужно отразить относительно точки
а затем получившийся график – относительно оси x = π. Заметим также, что косинусоида получается из синусоиды сдвигом на π/2 влево, поэтому, как правило, используется только термин «синусоида».
 |
Модель 2.10.
Математический маятник
|
Синус и косинус применяются во многих областях физики и математики. Например, с их помощью удобно описывать гармонические колебания, задаваемые формулами y = A cos (ωx + φ) или y = A sin (ωx + φ). Здесь A – амплитуда, ω – частота, φ – начальная фаза колебаний. Для построения графика гармонического колебания необходимо последовательно выполнить следующие операции над синусоидой:
- сжать к оси ординат с коэффициентом ω,
- перенести вдоль оси абсцисс на φ влево,
- растянуть от оси абсцисс в A раз.
Если мы имеем дело с явлением, в котором одновременно происходят несколько различных колебательных процессов с соизмеримыми периодами, то зависимость колеблющейся величины от времени остается периодической, но график этой зависимости в общем случае уже не является синусоидой. Любую из функций, описывающих эту зависимость, можно представить в виде суммы постоянной составляющей и гармонических колебаний с частотами, кратными

 |
Модель 2.11.
Колебания в электрической цепи
|
