Глава 11. Векторы

11.6. Вычисление угла между прямыми

Пусть прямые  и  заданы общими уравнениями

и

Обозначим через φ величину угла между прямыми  и (напомним, что угол между прямыми измеряется от 0° до 90°), а через ψ – угол между нормальными векторами  и  этих прямых. Если ψ ≤ 90°, то φ = ψ. Если же ψ > 90°, то φ = 180° – ψ. В обоих случаях верно равенство  Из теоремы 11.10 следует, что
и, следовательно,
Записав через координаты, получим
Если прямые  и  заданы уравнениями с угловыми коэффициентами  и

и

то нормальные векторы этих прямых могут быть   и выражение для косинуса угла между этими прямыми будет иметь вид:

Из последнего выражения следует, что если  то cos φ = 1 и φ = 0, то есть прямые параллельны или совпадают. С другой стороны, если прямые параллельны, то φ = 0 или cos φ = 1. Подставляя в правую часть вместо cos φ его значение 1, умножая обе части на знаменатель и возводя в квадрат, получим
Отсюда получаем

Если  то cos φ = 0 и  то есть прямые перпендикулярны. Обратно, если прямые перпендикулярны, то   или cos φ = 0. Отсюда следует с необходимостью

Следовательно, необходимые и достаточные условия параллельности и перпендикулярности двух прямых, заданных уравнениями с угловыми коэффициентами  и  формулируются следующим образом.

Пользуясь знанием координат направляющего и нормального векторов прямых, заданных общими уравнениями, можно сформулировать условия параллельности и перпендикулярности прямых через коэффициенты общих уравнений этих прямых.

Пусть задана прямая l общим уравнением Ax + By + C = 0 и некоторая точка  лежащая вне прямой. Поставим задачу найти расстояние  от этой точки до прямой l. Опустим перпендикуляр  из точки  на прямую l и обозначим   радиус-векторы точек  и  соответственно (см. рис. 11.6.1). Очевидно,

1

Рисунок 11.6.1

Пусть  – некоторая точка прямой l, отличная от точки  Тогда уравнение прямой l можно записать в нормальной векторной форме:
где  а  – вектор нормали к прямой l. Или, в векторной форме,

Очевидно, справедливо векторное равенство  причем   поэтому   Умножив обе части равенства скалярно на вектор , получим
Так как точка   лежит на прямой l, то   и, следовательно,  Подставляя в исходное равенство, найдем
Отсюда
Переходя к координатной форме записи и учитывая, что   имеем

Таким образом верна теорема