Глава 1. Теоретические сведения о функциях

1.4. Преобразование графиков функций

1.4.3. Отражение относительно осей и точек

Пусть имеется график функции y = f (x). Чтобы получить график функции, симметричный данному относительно оси OX, нужно умножить значение функции в каждой точке области определения на –1. Алгебраически это задается системой:

Графики функций y = f (x) и y = –f (x) симметричны относительно оси абсцисс.

Аналогичным образом отражается график относительно оси OY:

Графики функций y = f (x) и y = f (–x) симметричны относительно оси ординат.

Отражение графика относительно начала координат сводится к отражению сначала относительно оси абсцисс, затем относительно оси ординат и задается системой уравнений

Модель 1.15. Отражение графиков относительно осей и точек

Симметричными относительно начала координат являются графики функций y = f (x) и y = –f (–x). Более сложным является вопрос о симметрии графиков относительно произвольных вертикальных и горизонтальных осей. Справедливы следующие утверждения.

• Графики функций y = f (x) и y = 2b – f (x) симметричны относительно горизонтальной оси y = b.
• Графики функций y = f (x) и y = f (2a – x) симметричны относительно вертикальной оси x = a.

Системы уравнений, соответствующие этим преобразованиям, выглядят так:

и

Наконец, отражение графика относительно произвольной точки (a, b) задается сначала отражением относительно горизонтальной оси y = b, затем отражением относительно вертикальной оси x = a:

Графики функций y = f (x) и y = 2b – f (2a – x) симметричны относительно точки (a; b).