Главная   Онлайн учебники   База репетиторов России   Товары для школы   Подготовка к ЕГЭ онлайн


Глава 2. Элементарные функции и их графики

2.5. Графические методы решения задач

Назад Вперед
Назад Вперед

2.5.2. Решение неравенств

Пусть задано неравенство f (x) > 0 (очевидно, что все неравенства вида h (x) > g (x) сводятся к рассматриваемому переносом функции g (x) в левую часть). Его решением является совокупность всех точек числовой оси, удовлетворяющих данному неравенству.

Построим график функции y = f (x). Геометрически решениями неравенства будут абсциссы всех точек графика, лежащих над осью OX. Если весь график находится под осью OX, то неравенство решений не имеет (таковым, в частности, является неравенство x2 > 0).

Решением нестрогого неравенства f (x) ≥ 0 будут все точки графика y = f (x), лежащие на самой оси OX или выше нее. Решения неравенств f (x) < 0 и f (x) ≤ 0 ищутся аналогичным образом.

Геометрической интерпретацией решения неравенства f (x) > g (x) будут абсциссы всех точек графика y = f (x), лежащих выше соответствующих точек графика y = g (x) на пересечении областей определения функций f и g.

Модель 2.19. Решение неравенств

 

При решении неравенств, содержащих многочлены, часто используют метод интервалов. Суть его состоит в следующем. Пусть в неравенстве
P (x) > 0

P (x) – многочлен степени n и пусть x1, …, xm – действительные корни этого многочлена кратности α1,..., αm соответственно, расположенные в порядке возрастания. Разложим многочлен на множители:
где Q (x) – многочлен, не имеющий действительных корней. График функции y = P (x) пересекается с осью абсцисс в m точках x1,..., xm; в промежутках между этими точками функция сохраняет знак. На самом правом промежутке (xm; +∞) выполняется неравенство P (x) > 0, если a > 0, и P (x) < 0, если a < 0.

Начертим числовую ось OX и расставим на ней корни xi. Определим знак самого правого промежутка (xm; +∞). Далее движемся по числовой оси справа налево. При переходе через корень xi знак функции сохраняется, если корень четной кратности (то есть αi = 2ki), и изменяется на противоположный, если кратность корня нечетная i = 2ki + 1). На чертеже ставим над каждым промежутком (xixi + 1) знак "+", если многочлен принимает на этом промежутке положительные значения, и "–", если он принимает отрицательные значения. Таким образом, получаем решение исходного неравенства как совокупность интервалов (xixi + 1), над которыми поставлен знак "+".

Аналогичным образом решается и неравенство P (x) < 0.

Модель 2.20. Метод интервалов

Нестрогие неравенства вида P (x) ≥ 0 решаются тем же способом. Их решениями являются совокупность интервалов (xixi + 1), над которыми поставлен знак "+", и корней многочлена {xi}.

Решение дробно-рациональных неравенств , где Q1 (x) и Q2 (x) – многочлены, сводится к решению неравенства P (x) > 0, где P (x) = Q1 (x) · Q2 (x). Это следует из того, что и произведение, и отношение двух чисел положительно тогда и только тогда, когда эти числа отличны от нуля и одного знака. Нестрогое неравенство равносильно совокупности


Назад Вперед
Наверх

Включить/Выключить фоновую музыкуВключить/Выключить звуки событий

Главная   Онлайн учебники   База репетиторов России   Товары для школы   Подготовка к ЕГЭ онлайн