Глава 2. Элементарные функции и их графики

2.5. Графические методы решения задач

2.5.3. Решение систем уравнений и неравенств

Уравнение g (x, y) = 0 задает на координатной плоскости некоторую кривую, каждая точка M (x; y) которой удовлетворяет этому уравнению.

Некоторые кривые являются графиками функций y = f (x), что означает равносильность уравнений g (x, y) = 0 и y = f (x). К таковым, например, относится кривая, задаваемая уравнениями x + y – 1 = 0 или y – x² = 0. Другим не соответствуют никакие функции, например,   (в данном случае каждому значению соответствуют два значения y).

Уравнением окружности с центром в точке (a; b) и радиусом r > 0 является

(x – a)2 + (y – b)2 = r2.

Уравнение (x – a)² + (y – b)² = 0 задает точку с координатами (a; b), уравнение x² – y² = a² – гиперболу.

Уравнение вида

f (x, y) · g (x, y) = 0

задает на плоскости объединение линий f (x, y) = 0 и g (x, y) = 0. Каждая точка этой фигуры является решением совокупности уравнений

Модель 2.21. Система уравнений с двумя переменными

Пусть задана система уравнений Ее решением является совокупность пар чисел (x_i; y_i), подстановка которых в каждое из уравнений превращает его в верное равенство. Построим на координатной плоскости кривые, задаваемые уравнениями f (x, y) = 0 и g (x, y) = 0. Тогда можно сказать, что геометрически решением системы уравнений является совокупность всех точек M_i (x_i; y_i), в которых пересекаются кривые, задаваемые этими уравнениями.

Если кривые не пересекаются, то система уравнений решений не имеет. В этом случае говорят, что система несовместна.

Систему геометрически можно представить как совокупность точек, в которых пересекаются три кривые f (x, y) = 0, g (x, y) = 0 и h (x, y) = 0. Если не существует точки, в которой пересекаются все три кривые, то система также несовместна.

Аналогичным образом уравнение f (x, y, z) = 0 задает поверхность в трехмерной декартовой системе координат. Геометрически решением системы уравнений будет совокупность координат точек M_i (x_i; y_i; z_i), в которых пересекаются поверхности, задаваемые этими уравнениями.

Так, уравнения x² + y² + z² = 1, y = 0, z = 0 задают в пространстве сферу единичного радиуса с центром в начале координат и две координатные плоскости, перпендикулярные соответственно оси ординат и оси аппликат. Плоскость z = 0 пересекает сферу по окружности x² + y² = 1, лежащей в плоскости z = 0. Плоскость y = 0 пересекает эту окружность в двух точках с координатами M₁ (–1; 0; 0) и M₂ (1; 0; 0). Таким образом, решением системы уравнений являются две тройки чисел (±1; 0; 0).

Кривая f (x, y) = 0 делит координатную плоскость на несколько областей, внутри каждой из которых функция f сохраняет знак. Для решения неравенства

f (x, y) > 0

графическим методом необходимо в каждой из таких областей взять пробную точку и вычислить ее знак, после чего отобрать области, в которых функция f принимает положительные значения. Присоединяя к полученному решению саму кривую, получим решение неравенства

f (x, y) ≥ 0.

Чтобы решить графически систему нужно изобразить на координатной плоскости решения каждого из неравенств f (x, y) > 0, g (x, y) > 0, а затем найти их пересечение. Аналогичным образом поступают, если неравенств больше двух.