Глава 3. Дифференцирование и интегрирование функций

3.1. Производная

3.1.8. Линеаризация элементарных функций

Рассмотрим функции y = sin x и y = x в окрестности точки x = 0. Увеличивая масштаб графика, можно убедиться, что sin x ≈ x при x → 0. Более точное приближение дает при x → 0. Добавляя в эту формулу все более и более высокие степени x с определенными коэффициентами, мы будет получать все более и более точное представление функции sin x многочленом. Такой многочлен называют многочленом Тейлора.

В общем случае функция f (x) представляется в бесконечно малой окрестности точки x₀ многочленом Тейлора, задаваемым формулой
где o ((x – x₀)ⁿ) – бесконечно малая относительно (x – x₀)ⁿ функция. Естественно, данная формула справедлива, если в точке x₀ существуют производные функции f вплоть до f ⁽ⁿ⁾. Напомним, что операция факториал определяется следующим образом:

n! = 1 · 2 · 3 ·…· (n – 1)  · n,

(2n)!! = 2 · 4 ·…· (2n – 2) · 2n,

(2n + 1)!! = 1 · 3 ·…· (2n – 1) · (2n + 1),

0! = 1.

В окрестности x = 0 формула Тейлора приобретает вид

Эта формула называется формулой Маклорена.

Модель 3.5. Линеаризация функций

Приведем формулы разложения по степеням x некоторых элементарных функций при x → 0.

где

Формулы Тейлора и Маклорена используются при приближенных вычислениях и для нахождения пределов функций. В частности, ряд Тейлора применяется для вычисления пределов вида
где f (x) > 0,    Если      при x → 0, где a ≠ 0, b ≠ 0, то Если    при x → 0, причем то

Если   где то
при n > m.
если m > n и m – n – четное число. Если же m > n и m – n – нечетное число, то не существует.