Пусть четырехугольник является выпуклым в смысле определения главы 7 и O – точка пересечения диагоналей AC и BD. Рассмотрим произвольную пару смежных вершин четырехугольника (для определенности A и B) и прямую содержащую сторону AB. Точка O лежит в одной из полуплоскостей, задаваемых этой прямой. Тогда все точки лучей AO и OB лежат в замыкании этой полуплоскости и, в частности, точки C и D. Отсюда следует, что отрезки AC, CD, AB, BD также принадлежат замыканию одной полуплоскости, задаваемой прямой AB, а это и значит, что CD лежит в замыкании одной полуплоскости относительно прямой AB. Так как сторона AB была выбрана произвольно, то это верно для любой стороны и это завершает доказательство.

Пусть теперь верно определение выпуклости четырехугольника ABCD в смысле определения главы 9. В соответствии с этим четырехугольник ABCD лежит в плоском угле ABC, мера которого меньше 180°, с вершиной A и сторонами AB и AC, если прямая BD параллельна прямой AC, а прямая CD параллельна прямой AB, то ABCD – параллелограмм, а по теореме 7.5 его диагонали пересекаются, что доказывает утверждение. Пусть теперь одна из пар указанных прямых не параллельна, для определенности BD не параллельно AC.

Тогда, если M – точка пересечения BD и AC, то отрезок BM пересекает луч AD в точке D и AD лежит между сторонами угла BAC. Отсюда следует, что лучи AB и AC (за исключением вершины A) лежат в разных полуплоскостях от прямой AD и, следовательно, отрезок BC пересекает прямую AD в точке O, и более того, отрезок BC пересекает луч AD. Рассмотрим теперь угол BDC. По условию выпуклости ABCD лежит в плоском угле BDC, мера которого меньше 180°, аналогично можно доказать, что BC пересекает луч DA. Отсюда следует, что диагонали ABCD пересекаются и верно определение выпуклости в смысле главы 7.

Пусть P – исходный выпуклый плоский многоугольник.

Возьмем две произвольные точки A и B, принадлежащие P. По определению P точки A и B лежат по одну сторону от любой прямой, содержащей сторону P, тогда [AB] также обладает этим свойством . Следовательно, [AB] содержится в P. Теорема доказана.

2

Рисунок 9.2.2. К теореме 9.2

В случае n = 3 теорема справедлива (теорема 4.8). Пусть A₁A₂... A_n – данный выпуклый многоугольник, и n > 3. Проведем все диагонали многоугольника из вершины A₁. Они разбивают его на n – 2 треугольника: Δ A₁A₂A₃, Δ A₁A₃A₄, ... , Δ A₁A_n – 1A_n. Сумма углов многоугольника совпадает с суммой углов всех этих треугольников. Сумма углов каждого треугольника равна 180°, а число треугольников – (n – 2). Поэтому сумма углов выпуклого n-угольника A₁A₂... A_n равна 180° (n – 2).

3

Рисунок 9.2.3. К теореме 9.3