Для кинематического описания вращения твердого тела удобно использовать угловые величины: угловое перемещение
В этих формулах углы выражаются в радианах. При вращении твердого тела относительно неподвижной оси все его точки движутся с одинаковыми угловыми скоростями и одинаковыми угловыми ускорениями. За положительное направление вращения обычно принимают направление против часовой стрелки.
|
Рисунок 1.23.1. |
При малых угловых перемещениях
Векторы и направлены по касательной к окружности радиуса
Разобьем вращающееся тело на малые элементы
Физическая величина зависит от распределения масс вращающегося тела относительно оси вращения. Она называется моментом инерции
В пределе при
Эта формула очень похожа на выражение для кинетической энергии поступательно движущегося тела только теперь вместо массы
Момент инерции в динамике вращательного движения играет ту же роль, что и масса тела в динамике поступательного движения. Но есть и принципиальная разница. Если масса – внутреннее свойство данного тела, не зависящее от его движения, то момент инерции тела зависит от того, вокруг какой оси оно вращается. Для разных осей вращения моменты инерции одного и того же тела различны.
Во многих задачах рассматривается случай, когда ось вращения твердого тела проходит через его центр массы. Положение
|
Рисунок 1.23.2. |
В векторной форме это соотношение принимает вид:
Аналогично, для системы из многих частиц радиус-вектор центра масс определяется выражением
Для сплошного тела суммы в выражении для заменяются интегралами. Легко видеть, что в однородном поле тяготения центр масс совпадает с центром тяжести. Если в однородном поле тяготения твердое тело сложной формы подвесить за центр масс, то оно будет находиться в безразличном состоянии равновесия. Поэтому положение центра масс тела сложной формы можно практически определить путем последовательного подвешивания его за несколько точек и отмечая по отвесу вертикальные линии (рис. 1.23.3).
|
Рисунок 1.23.3. |
Равнодействующая сил тяжести в однородном поле тяготения приложена к центру масс тела. Если тело подвешено за центр масс, то оно находится в состоянии безразличного равновесия (см. §1.14).
Любое движение твердого тела можно представить как сумму двух движений: поступательного движения со скоростью центра масс тела и вращения относительно оси, проходящей через центр масс. Примером может служить колесо, которое катится без проскальзывания по горизонтальной поверхности (рис. 1.23.4). При качении колеса все его точки движутся в плоскостях, параллельных плоскости рисунка. Такое движение называется плоским.
При плоском движении кинетическая энергия движущегося твердого тела равна сумме кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии вращения относительно оси, проходящей через центр масс тела и перпендикулярной плоскостям, в которых движутся все точки тела:
|
Рисунок 1.23.4. |
В механике доказывается теорема о движении центра масс: под действием внешних сил центр масс любого тела или системы взаимодействующих тел движется как материальная точка, в которой сосредоточена вся масса системы.
Иллюстрацией этого утверждения может служить рис. 1.23.5, на котором изображено движение тела под действием силы тяжести. Центр масс тела движется по параболической траектории как материальная точка, в то время как все другие точки движутся по более сложным траекториям.
|
Рисунок 1.23.5. |
Если твердое тело вращается относительно некоторой неподвижной оси, то его момент инерции
|
Рисунок 1.23.6. |
Рассмотрим сечение твердого тела произвольной формы, изображенное на рис. 1.23.6. Выберем координатную систему
Выражение для
Поскольку начало координат совпадает с центром масс
На рис. 1.23.7 изображены однородные твердые тела различной формы и указаны моменты инерции этих тел относительно оси, проходящей через центр масс.
|
Рисунок 1.23.7. |
Второй закон Ньютона может быть обобщен на случай вращения твердого тела относительно неподвижной оси. На рис. 1.23.8 изображено некоторое твердое тело, вращающееся относительно оси, перпендикулярной плоскости рисунка и проходящей через точку
|
Рисунок 1.23.8. |
Касательная составляющая вызывает тангенциальное ускорение массы
Если обе части написанного выше уравнения умножить на
Здесь – плечо силы – момент силы.
Теперь нужно аналогичные соотношения записать для всех элементов массы
Стоящая в правой части сумма моментов сил, действующих на различные точки твердого тела, состоит из суммы моментов всех внешних сил и суммы моментов всех внутренних сил.
Но сумма моментов всех внутренних сил согласно третьему закону Ньютона равна нулю, поэтому в правой части остается только сумма моментов всех внешних сил, которые мы будем обозначать через
Это и есть основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела. Угловое ускорение
Возможна и векторная форма записи основного уравнения динамики вращательного движения, при которой величины
При изучении поступательного движения тел вводится понятие импульса тела (см. §1.16). Аналогично, при изучении вращательного движения вводится понятие момента импульса.
Моментом импульса вращающегося тела называют физическую величину, равную произведению момента инерции тела
Поскольку уравнение вращательного движения можно представить в виде:
Окончательно будем иметь:
Это уравнение, полученное здесь для случая, когда
Если суммарный момент
Следовательно,
Это и есть закон сохранения момента импульса. Иллюстрацией этого закона может служить неупругое вращательное столкновение двух дисков, насажанных на общую ось (рис. 1.23.9).
|
Рисунок 1.23.9. |
Закон сохранения момента импульса справедлив для любой замкнутой системы тел. Он выполняется, например, при движении планет по эллиптическим орбитам вокруг Солнца (второй закон Кеплера).
Уравнение вращательного движения тела можно записывать не только относительно неподвижной или равномерно движущейся оси, но и относительно оси, движущейся с ускорением.
Основное уравнение динамики вращательного движения не изменяет своего вида и в случае ускоренно движущихся осей при условии, что ось вращения проходит через центр массы тела и что ее направление в пространстве остается неизменным. Примером может служить качение тела (обруч, цилиндр, шар) по наклонной плоскости с трением (рис. 1.23.10).
|
Рисунок 1.23.10. |
Ось вращения
Уравнение вращательного движения:
Второй закон Ньютона для поступательного движения центра масс записывается в виде:
Исключая из этих уравнений
Из этого выражения видно, что быстрее будет скатываться с наклонной плоскости тело, обладающее меньшим моментом инерции. Например, у шара а у сплошного однородного цилиндра Следовательно, шар будет скатываться быстрее цилиндра.