4.3.5. Математическое ожидание и дисперсия

Глава 4. Комбинаторика

4.3.

4.3.5.

Пусть мы измеряем случайную величину N раз, например, десять раз измеряем скорость ветра и хотим найти среднее значение. Как связано среднее значение с функцией распределения?

Будем кидать игральный кубик большое количество раз. Количество очков, которое выпадет на кубике при каждом броске, является случайной величиной и может принимать любые натуральные значения от 1 до 6. Среднее арифметическое выпавших очков, подсчитанных за все броски кубика, тоже является случайной величиной, однако при больших N оно стремится ко вполне конкретному числу – математическому ожиданию M_x. В данном случае M_x = 3,5.

Каким образом получилась эта величина? Пусть в N испытаниях раз выпало 1 очко, раз – 2 очка и так далее. Тогда При N → ∞ количество исходов, в которых выпало одно очко, Аналогично, Отсюда

Модель 4.5. Игральные кости

Предположим теперь, что мы знаем закон распределения случайной величины x, то есть знаем, что случайная величина x может принимать значения x₁, x₂, ..., x_k с вероятностями p₁, p₂, ..., p_k.

Математическое ожидание M_x случайной величины x равно

Математическое ожидание случайной величины часто обозначается как <x>. Записи <x> и M_x эквивалентны.

Пример 1

Найти математическое ожидание числа очков, которые выбьет первый стрелок в предыдущем примере.

Показать решение

Математическое ожидание не всегда является разумной оценкой какой-нибудь случайной величины. Так, для оценки средней заработной платы разумнее использовать понятие медианы, то есть такой величины, что количество людей, получающих меньшую, чем медиана, зарплату и большую, совпадают.


	Медианой случайной величины называют число x_1/2 такое, что p (x < x_1/2) = 1/2.

Другими словами, вероятность p₁ того, что случайная величина x окажется меньшей x_1/2, и вероятность p₂ того, что случайная величина x окажется большей x_1/2, одинаковы и равны 1/2. Медиана определяется однозначно не для всех распределений.

Вернёмся к случайной величине x, которая может принимать значения x₁, x₂, ..., x_k с вероятностями p₁, p₂, ..., p_k.

Дисперсией случайной величины x называется среднее значение квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:

Используя вероятности p_i того, что величина x принимает значения x_i, эту формулу можно переписать следующим образом:

Среднеквадратическим отклонением случайной величины x называется корень квадратный из дисперсии этой величины:

Пример 2

В условиях предыдущего примера вычислить дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины x.

Показать решение

Модель 4.6. Стрельба в мишень

Пример 3

Найти распределение вероятности числа очков, выпавших на кубике с первого броска, медиану, математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение.

Показать решение

Свойства математического ожидания

Математическое ожидание суммы независимых случайных величин равно сумме их математических ожиданий:

M_x + y = M_x + M_y.
Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

M_x · y = M_x · M_y.

Пример 4

Найти математическое ожидание суммы и произведения очков, выпавшей на двух кубиках.

Показать решение

Свойства дисперсии

Дисперсия суммы независимых случайных величин равно сумме дисперсий:

D_x + y = D_x + D_y.

Пример 5

Найти математическое ожидание и дисперсию суммы очков, выпавших при бросании кубика N раз.

Показать решение

Дисперсия случайной величины связана с математическим ожиданием квадрата этой случайной величины следующим соотношением:

Доказательство

Глава 4. Комбинаторика

4.3. document.write('Введение в теорию вероятностей');

4.3.5. document.write('Математическое ожидание и дисперсия'); window.top.document.title = "4.3.5. Математическое ожидание и дисперсия";

4.3.

4.3.5.